River Plate
Ancora ragazzo entrò a far parte del River Plate, in una squadra che includeva giocatori come Ángel Labruna e Félix Loustau, che a loro volta fecero parte della cosiddetta Máquina degli anni 1940; fu allora che si guadagnò il soprannome di El Cabezón per via della folta capigliatura che spiccava sulla sua esile figura.La squadra vinse la Primera División Argentina nel 1955, titolo confermato quando il River batté il Boca Juniors 2-1 alla Bombonera. Nella stessa stagione il club vinse la Copa Río de La Plata battendo il Nacional. La stagione successiva la squadra vinse il campionato argentino all'ultima giornata battendo il Rosario Central per 4-0, con Sívori che realizzò l'ultima rete. Avrebbe giocato l'ultima partita con la maglia del River contro lo stesso club il 5 maggio 1957.Il giovane vestì la maglia dei Millonarios fino alla stagione 1957-1958, quando fu ingaggiato dalla Juventus. A posteriori quel trasferimento provocò indirettamente un declino nella storia del club argentino, che nei diciotto anni seguenti non riuscirà più a vincere il titolo nazionale;tuttavia con i soldi ottenuti dal trasferimento fu iniziato il completamento de El Monumental
La Juventus e il Trio Magico
A 21 anni, Sívori arrivò quindi in Italia. Fu soprattutto l'interessamento dell'ex juventino Renato Cesarini a rendere possibile il trasferimento del giovane calciatore al club torinese, che pagò 10 milioni di pesos (equivalenti allora a 190 milioni di lire) per il suo cartellino, stabilendo un record dell'epoca; a essere battuta fu soprattutto la concorrenza dell'Inter. Esordì in maglia bianconera nel 1957, andando ad affiancare in attacco l'altro neoacquisto, il centravanti gallese John Charles, e il capitano della squadra, l'italiano Giampiero Boniperti: nonostante le incognite della vigilia, questi andarono a comporre un formidabile trio offensivo (tra i più prolifici visti sul palcoscenico della massima serie italiana) che fece la fortuna della Juventus a cavallo degli anni 1950 e 1960.
L'argentino indossò la casacca bianconera in 257 partite (215 in A, 23 in Coppa Italia e 19 in Europa), segnando 170 reti (135 in A, 24 in Coppa Italia e 12 in Europa).Con la Juventus visse il suo periodo di maggior successo, vincendo tre scudetti (tra cui il primo, storico, «della stella») assieme ad altrettante coppe nazionali;nel 1960 riuscì inoltre a conquistare il suo unico titolo di capocannoniere, mentre l'anno successivo raggiunse il suo massimo traguardo personale, venendo insignito (grazie al suo status di oriundo) del Pallone d'oro come miglior calciatore europeo: era la prima volta che il prestigioso riconoscimento veniva assegnato a un giocatore italiano (per quanto italo-argentino), nonché il primo successo assoluto per un calciatore juventino e militante nel campionato italiano. Sívori fu l'ultimo elemento del Trio Magico a lasciare il club torinese, restando in bianconero fino al 1965 quando, a causa d'insanabili contrasti con l'allora allenatore Heriberto Herrera (di cui non sopportava la stretta disciplina), decise di cambiare squadra.
Napoli
Nel 1965 cedette quindi alle lusinghe del Napoli. Sívori arrivò a vestire la maglia azzurra grazie all'opera di Bruno Pesaola; l'allora presidente partenopeo Achille Lauro, per ottenere il suo cartellino, acquistò due motori navali per la sua flotta e pagò settanta milioni: quando arrivò in città, ad accogliere il giocatore ci furono migliaia di tifosi. Qui, all'ombra del Vesuvio, formerà una coppia-gol tutta sudamericana assieme all'altro oriundo, l'italo-brasiliano José Altafini. Col club campano vinse subito la Coppa delle Alpi 1966, e fu poi protagonista in Serie A con un terzo posto nello stesso anno, un quarto l'anno dopo e un secondo nel 1968.Un infortunio al ginocchio destro durante una tournée del Napoli in Colombia, nell'estate 1967, lo metterà a disposizione della squadra partenopea a mezzo servizio nelle ultime due stagioni; ciò, unito ad uno storico litigio con l'arbitro Fulvio Pieroni durante un Napoli-Juventus del 1º dicembre 1968 (culminato con un'espulsione e successivi sei turni di squalifica), lo convinse definitivamente a concludere la propria carriera, a trentatré anni, decisione su cui già meditava da tempo.Darà il suo commosso addio al calcio giocato in televisione, il 21 dicembre 1968, durante la tredicesima puntata di Canzonissima, con un collegamento da Napoli
L'Argentina e gli Angeli dalla faccia sporca
Sívori scese in campo per l'Argentina, suo Paese d'origine, in 19 occasioni, collezionando 9 reti e vincendo il titolo continentale sudamericano nel 1957 – venendo al contempo eletto miglior giocatore dell'edizione.
Con altri fuoriclasse di quella squadra (Omar Corbatta, Humberto Maschio, Antonio Angelillo e Osvaldo Héctor Cruz) aveva formato nell'Albiceleste un gruppo destinato a rimanere nella memoria con il nome di Angeli dalla faccia sporca (appellativo mutuato dall'omonima pellicola del 1938) per l'aria da impertinenti scugnizzi che i cinque avevano sul campo e fuori. Il terzetto con Angelillo e Maschio non poté ricostituirsi nelle squadre di club italiane dalle quali i tre furono poi ingaggiati: Sívori approdò alla Juventus, mentre gli altri due si trovarono a giocare per una storica rivale dei torinesi, ovvero l'Inter. Successivamente, solo Angelillo riuscirà negli anni 1960 a riunirsi calcisticamente, seppur brevemente, al fuoriclasse argentino: nel 1961 con la maglia azzurra, entrambi da oriundi, e nel 1967 con la casacca del Napoli, durante la tournée partenopea in Colombia che vedrà Sívori protagonista del già citato grave infortunio.
Come accennato, nel 1961 Sívori vinse il Pallone d'oro e, in virtù della sua condizione di oriundo, dallo stesso anno poté essere impiegato nell'Italia che partecipò al campionato del mondo 1962 in Cile, dove fu penalizzato ancora una volta, secondo i giornalisti, dal suo carattere introverso. Con la maglia della nazionale azzurra Sívori disputò in tutto 9 incontri, mettendo a segno 8 reti (di cui 4 contro Israele nel 1961).
